Observe o mosaico a seguir, formado por:

• um octógono regular azul;

• dois hexágonos regulares congruentes, ambos vermelhos;

• dois triângulos congruentes, ambos amarelos;

• um quadrilátero laranja.

a) Calcule a medida dos ângulos internos do octógono e dos ângulos internos dos hexágonos.

b) Determine a medida α indicada na figura.

c) Qual é a medida β marcada na figura?

d) Calcule o valor da medida θ.

começar estilo tamanho matemático 14px alfa com o c t subscrito fim do subscrito igual a numerador abre parênteses 8 menos 2 fecha parênteses vezes 180 sinal de grau sobre denominador 8 fim da fração igual a 135 sinal de grau fim do estilo

Já para os hexágonos regulares, a medida dos ângulos internos é dada por:

começar estilo tamanho matemático 14px alfa com h e x subscrito fim do subscrito igual a numerador abre parênteses 6 menos 2 fecha parênteses vezes 180 sinal de grau sobre denominador 6 fim da fração igual a 120 sinal de grau fim do estilo

b) No vértice do ângulo de medida a, devemos ter:

α + 120° + 135° = 360° começar estilo tamanho matemático 14px então fim do estilo α = 105°

c) Os triângulos amarelos da figura são isósceles, pois possuem dois lados com a mesma medida dos lados do octógono e dos hexágonos regulares. Então,

β + β + 105° = 180° começar estilo tamanho matemático 14px então fim do estilo β = 37°30’

d) Vamos considerar as representações do quadrilátero laranja dadas a seguir, em que α é a medida dos lados dos polígonos regulares que compõem o mosaico.

Andre19santosgo Andre19santosgo · Answer 2

Dado o mosaico da figura, temos:

a) Os ângulos internos do octógono e hexágono medem 135° e 120°.

b) O ângulo α mede 105°.

c) O ângulo β mede 37,5°.

d) O ângulo θ mede 75°.

Figuras planas

Os polígonos são determinados como uma região fechada formada por três ou mais segmentos de reta. Os ângulos internos de um polígono regular podem ser calculados por:

i = 180°·(n - 2)/n

onde n é o número de lados.

a) Para o octógono e o hexágono, teremos n = 8 e n = 6, respectivamente:

Octógono

io = 180°·(8 - 2)/8

io = 135°

Hexágono

ih = 180°·(6 - 2)/6

ih = 120°

b) O ângulo α com os ângulos do hexágono e do octógono formam um ângulo completo, então:

α + 120° + 135° = 360°

α = 105°

c) β é ângulo da base do triângulo isósceles, logo:

2β + 105° = 180°

2β = 75°

β = 37,5°

d) θ é o ângulo da base maior do trapézio. A soma dos ângulos do trapézio é 360°, onde os dois ângulos da base menor são α:

2θ + 2α = 360°

θ + 105° = 180°

θ = 75°