O valor da soma é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{500} i^2 = \frac{41791750}{7} = 5970250\end{gathered}$}[/tex]
Vamos recordar duas propriedades importantes do somatório, que é um operador linear, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{i=m}^{n}x_i \pm y_i = \sum_{i=m}^{n}x_i \pm \sum_{i=m}^{n}y_i\\ \\\sum_{i=m}^{n}k\cdot x_i = k\sum_{i=m}^{n}x_i\end{gathered}$}[/tex]
Com isso já podemos simplificar nosso somatório para
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{i=1}^{500}\frac{i^2}{7} = \frac{1}{7}\sum_{i=1}^{500} i^2\end{gathered}$}[/tex]
E aqui temos a soma dos 500 primeiros números inteiros ao quadrado, vamos deduzir a fórmula da soma de n números inteiros ao quadrado.
Para isso precisamos da soma de n inteiros, vamos considerar um P.A de razão 1 e primeiro termo igual a 1, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a_n = a_1 +\left(n-1\right)r\\ \\a_n = 1 +\left(n-1\right)\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
essa P.A descreve a sequência {1, 2, 3, 4, ... , n}, vamos supor uma sequência {a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}, então temos que a soma dos n termos é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\end{gathered}$}[/tex]
que também podemos escrever da forma
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_n = a_{n} + a_{n - 1} + \ldots + a_1\end{gathered}$}[/tex]
que é basicamente a mesma coisa, somando as duas equações temos então
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}2S_n = \left(a_{n} + a_1 \right)+ \left(a_{n - 1 } + a_2 \right) + \ldots + \left(a_{1} + a_{n} \right)\end{gathered}$}[/tex]
Porem note que todos esses termos são equivalentes a (aₙ + a₁), e.g.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a_{n-i} + a_{i + 1} = a_1 + \left(n-i-1\right)r + a_1 + \left(i+1-1\right)r \\ \\a_{n-i} + a_{i + 1} = 2a_1 + \left(n-i-1\right)r + ir \\ \\a_{n-i} + a_{i + 1} = 2a_1 + nr-ir-r+ ir \\ \\a_{n-i} + a_{i + 1} = 2a_1 + nr-r\\ \\a_{n-i} + a_{i + 1} = a_1 + \underbrace{a_1+\left(n-1\right)r}_{a_n}\\ \\\boxed{a_{n-i} + a_{i + 1} = a_1 + a_n}\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Como esperado.
Logo podemos substituir tudo isso por
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}2S_n =\underbrace{ \left(a_{n} + a_1 \right)+ \left(a_{n} + a_1 \right) + \ldots + \left(a_{n} + a_1 \right)}_{\text{ n vezes}}\\ \\2S_n = n\left(a_{n} + a_1 \right)\\ \\S_n = \frac{n\left(a_{n} + a_1 \right)}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Agora vamos mostrar a soma dos n primeiros números ao quadrado, para isso vamos ter que considerar a seguinte identidade
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left(n + 1\right)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
fazendo isso até temos
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}2^3=\left(1 + 1\right)^3 =1^3 + 3\cdot 1^2 + 3\cdot 1 + 1 \\ \\3^3=\left(2+ 1\right)^3 =2^3 + 3\cdot 2^2 + 3\cdot 2 + 1 \\\vdots\\\left(n + 1\right)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Somando tudo iremos obter
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left(n+1\right)^3= 3\left(1+2^2+3^3+\ldots+n^2\right)+3\left(1 + 2 + \ldots + n\right) +\left(n+1\right)\end{gathered}$}[/tex]
Veja que multiplicado por 3 aparece nossa soma dos n quadrados, e ao lado dela a soma dos n primeiros números inteiros, então podemos dizer que
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left(n+1\right)^3=3S_n+\frac{3n\left(n+1\right)}{2} +\left(n+1\right)\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Portanto
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}3S_n = 2\left(n+1\right)^3 - 3n\left(n+1\right) -2\left(n+1\right)\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Agora temos um termo comum entre todos eles, fatorando
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}3S_n = \left(n+1\right) \left(2\left\left(n+1\right)^2 - 3n -2\right)\\ \\3S_n = \left(n+1\right) \left(2n^2+n\right)\\ \\S_n = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Por fim,
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sum_{i=1}^{500}\frac{i^2}{7} = \frac{1}{7}\sum_{i=1}^{500} i^2 = \frac{1}{7}\left(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\right) \end{gathered}$}[/tex]
para n = 500, temos que
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{500} i^2 = \frac{41791750}{7} = 5970250\end{gathered}$}[/tex]
Espero ter ajudado!
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