Reescrevendo a expressão, determinamos que o valor de u + v é igual a 14.
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Considerações
⠀⠀A expressão algébrica dada é um tanto quanto assustadora, mas resolvendo essa questão você vai ver que não é tudo isso.
⠀⠀Desejamos reescrevê-la na forma [tex]\frac{2\,+\,2x}{u\,+\,vx}[/tex] a fim de obter os valores de u e v de modo à calcular a soma [tex]u+v[/tex], e para isso basta reduzir a expressão dada, veja abaixo.
Resolução
⠀⠀Inicialmente, para facilitar a explicação vamos reescrever essa fração em uma divisão:
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[tex]\Large\begin{array}{c}\dfrac{\dfrac{3+x}{3-x}-1}{7-\dfrac{7}{1+x}}\\\\\bigg(\dfrac{3+x}{3-x}-1\bigg)\div\bigg(7-\dfrac{7}{1+x}\bigg)\end{array}[/tex]
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⠀⠀Começando na primeira fração, sabemos que 1 pode ser reescrito como um valor dividido por ele mesmo, dessa forma podemos fazer: [tex]1=\frac{3\,-\,x}{3\,-\,x}[/tex] de modo que dê para subtrair as frações:
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[tex]\Large\begin{array}{c}\bigg(\dfrac{3+x}{3-x}-\dfrac{3-x}{3-x}\bigg)\div\bigg(7-\dfrac{7}{1+x}\bigg)\\\\\bigg(\dfrac{3+x-(3-x)}{3-x}\bigg)\div\bigg(7-\dfrac{7}{1+x}\bigg)\\\\\bigg(\dfrac{3+x-3+x}{3-x}\bigg)\div\bigg(7-\dfrac{7}{1+x}\bigg)\\\\\bigg(\dfrac{2x}{3-x}\bigg)\div\bigg(7-\dfrac{7}{1+x}\bigg)\end{array}[/tex]
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⠀⠀Agora partindo para a segunda fração, a fim de reescrever 7 como uma fração de denominador [tex]1+x[/tex], podemos fazer: [tex]7=\dfrac{7(1\,+\,x)}{1\,+\,x}[/tex], de modo que:
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[tex]\Large\begin{array}{c}\bigg(\dfrac{2x}{3-x}\bigg)\div\bigg(\dfrac{7(1+x)}{1+x}-\dfrac{7}{1+x}\bigg)\\\\\bigg(\dfrac{2x}{3-x}\bigg)\div\bigg(\dfrac{7(1+x)-7}{1+x}\bigg)\\\\\bigg(\dfrac{2x}{3-x}\bigg)\div\bigg(\dfrac{7+7x-7}{1+x}\bigg)\\\\\dfrac{2x}{3-x}\div\dfrac{7x}{1+x}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Agora como temos uma divisão, podemos converter em uma multiplicação invertendo o numerador pelo denominador em qualquer uma das frações:
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[tex]\Large\begin{array}{c}\dfrac{2x}{3-x}\cdot\dfrac{1+x}{7x}\\\\\dfrac{2\!\!\not\!x\cdot(1+x)}{(3-x)\cdot7\!\!\not\!x}\\\\\dfrac{2\cdot(1+x)}{(3-x)\cdot7}\\\\\dfrac{2+2x}{21-7x}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Assim, veja que a expressão inicial reduzida se situa na forma desejada:
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[tex]\Large\begin{array}{c}\dfrac{2+2x}{21-7x}=\dfrac{2+2x}{u+vx}\\\\\therefore~~u=21~~\land~~v=-\,7\end{array}[/tex]
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⠀⠀Logo temos que a soma buscada será:
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[tex]\Large\begin{array}{c}u+v=21+(-\,7)=21-7=14\end{array}[/tex]
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⠀⠀Conclui-se, portanto, que [tex]u+v=14[/tex].
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[tex]\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}[/tex]
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