Olá, bom dia.
Devemos calcular as derivadas parciais das seguintes funções:
a) [tex]f(x,~y)=x^4+\dfrac{xy^3}{3}[/tex]
b) [tex]f(x,~y)=2x^3e^{5y}[/tex]
Calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem destas funções: [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex].
Em a), temos:
[tex]f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^4+\dfrac{xy^3}{3}\right)\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x^4+\dfrac{xy^3}{3}\right)[/tex]
Para calcular estas derivadas, lembre-se que:
- A derivada é um operador linear, logo vale que [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x)+g(x))=\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))+\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))[/tex] e [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))[/tex].
- A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante delas como constantes.
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}[/tex].
- Consoante com as regras acima, a derivada de uma constante é igual a zero.
- A derivada de uma função composta é calculada de acordo com a regra da cadeia: [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(f(g(x)))=\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))\cdot f'(g(x))[/tex].
- A derivada da função exponencial [tex]e^x[/tex] é a própria função exponencial.
Aplique a linearidade
[tex]f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^4)+\dfrac{y^3}{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^4)+\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y^3)[/tex]
Aplique a regra da potência, sabendo que [tex]x=x^1[/tex]
[tex]f_x=4\cdot x^{4-1}+\dfrac{y^3}{3}\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\ \boxed{f_x=4x^3+\dfrac{y^3}{3}}\\\\\\ f_y=0+x\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot y^{3-1}\\\\\\ \boxed{f_y=xy^2}[/tex]
Em b), temos:
[tex]f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3e^{5y})\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3e^{5y})[/tex]
Aplique a linearidade
[tex]f_x=2e^{5y}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3)\\\\\\ f_y=2x^3\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(e^{5y})[/tex]
Aplique a regra da potência e da cadeia
[tex]f_x=2e^{5y}\cdot3\cdot x^{3-1}\\\\\\ f_y=2x^3\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(5y)\cdot e^{5y}\\\\\\ \Rightarrow f_y=2x^3\cdot5\cdot 1\cdot y^{1-1}\cdot e^{5y}[/tex]
Some os valores nos expoentes e multiplique os termos
[tex]f_x=2e^{5y}\cdot3\cdot x^{2}\\\\\\ \boxed{f_x=6x^2e^{5y}}\\\\\\ f_y=2x^3\cdot5\cdot 1\cdot y^{0}\cdot e^{5y}\\\\\\ \boxed{f_x=10x^3e^{5y}}[/tex]
Estas são as derivadas parciais destas funções.
