Resposta :
Item A, 31 alunos não gostam de nenhum desses gêneros musicas, e item B, 4 alunos gostam APENAS de Samba.
[tex]\blacksquare[/tex] Acompanhe a solução:
→ Dados:
- total de alunos do levantamento (T): 90;
- 41 ouvem Sertanejo (Se);
- 29 ouvem Rock (R);
- 26 ouvem Samba (Sa);
- 15 ouvem Se e R (Se ∩ R);
- 8 ouvem R e Sa (R ∩ Sa);
- 19 ouvem Se e Sa (Se ∩ Sa);
- 5 ouvem os três gêneros musicais (Se ∩ R ∩ Sa).
- ouvem APENAS Se ([tex]\overline{Se}[/tex]): ?
- ouvem APENAS R ([tex]\overline{R}[/tex]): ?
- ouvem APENAS Sa ([tex]\overline{Sa}[/tex]): ?
- Não ouvem nada (Nd): ?
Se considerarmos somente os alunos que escutam 1 gênero musical, totalizará: [tex]sertanejo + rock + samba = 41+29+26 = \large\boxed{96}[/tex]. Ou seja, está acima do total de alunos do levantamento. Desta forma, interpreto que dentre o total de cada gênero musical está sendo contabilizado alunos que escutam APENAS 1 gênero musical, alunos 2 gêneros musicais e alunos que escutam os 3 gêneros musicais.
→ Transformando em linguagem matemática, temos:
[tex]\large\begin{array}{l} \circ \;\boxed{Se = \overline{Se}+Se\cap R + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa}\\\\\circ \;\boxed{R = \overline{R}+Se\cap R + R\cap Sa + Se\cap R\cap Sa}\\\\\circ \;\boxed{Sa = \overline{Sa}+R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa}\end{array}[/tex]
[tex]\star[/tex] Notou que os 3 gêneros ( Se ∩ R ∩ Sa ) está contabilizado em cada gênero musical?
[tex]\star[/tex] Notou que tanto em Se como em R está sendo contabilizado duas vezes Se ∩ R?
[tex]\star[/tex] Notou que em Se e em Sa está sendo contabilizado duas vezes Se ∩ Sa?
[tex]\star[/tex] Notou que em R e em Sa está sendo contabilizado duas vezes R ∩ Sa?
É preciso descontar cada evento repetido para que tenhamos os valores reais de cada evento, para assim chegarmos à equação geral.
Sabendo disto, os 90 alunos nada mais é do que o total da soma de todos os eventos apresentados sem as repetições. E não podemos esquecer os alunos que não gostam de nenhum desses três gêneros (Nd). Assim, podemos escrever a equação geral, sendo:
[tex]\large\begin{array}{l} \boxed{90 = \overline{Se} + \overline{R} + \overline{Sa} + Se \cap R + R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R \cap Sa + Nd} \end{array}[/tex]
Vamos aos cálculos!
[tex]\blacksquare[/tex] Montando a equação:
[tex]\star[/tex] Primeiramente, devemos descontar dos alunos que escutam 2 gêneros, aqueles que escutam 3 gêneros e na sequência, descontar dos que escutam APENAS 1 gênero, aqueles que escutam 2 gêneros:
→ Descontando dos que escutam 2 gêneros, os alunos que escutam 3 gêneros:
- Alunos que escutam Se ∩ R:
[tex]\large\begin{array}{l}Se\cap R - Se\cap R \cap Sa = 15 - 5 = \Large\boxed{\boxed{10}}\Huge\checkmark \end{array}[/tex]
- Alunos que escutam R ∩ Sa:
[tex]\large\begin{array}{l} R\cap Sa - Se\cap R \cap Sa = 8 - 5 = \Large\boxed{\boxed{3}}\Huge\checkmark \end{array}[/tex]
- Aluno que escutam Se ∩ Sa:
[tex]\large\begin{array}{l}Se\cap Sa - Se\cap R \cap Sa = 19 - 5 = \Large\boxed{\boxed{14}}\Huge\checkmark \end{array}[/tex]
[tex]\Large\checkmark[/tex] Assim, na verdade temos: Se ∩ R ∩ Sa = 5 alunos; Se ∩ R = 10 alunos; R ∩ Sa = 3 alunos e Se ∩ Sa = 14 alunos.
→ Descontando dos que ouvem APENAS um gênero, os alunos que escutam 2 gêneros e os que escutam 3 gêneros:
Utilizando as equações deduzidas inicialmente, temos:
- [tex]\overline{Se}[/tex]:
[tex]\large\begin{array}{l} Se = \overline{Se}+Se\cap R + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa\\\\41 = \overline{Se}+10+14+5\\\\\oveline{Se}=41-29\\\\\Large\boxed{\boxed{\overline{Se}=12}}\Huge\checkmark\end{array}[/tex]
- [tex]\overline{R}[/tex]:
[tex]\large\begin{array}{l} R = \overline{R}+Se\cap R + R\cap Sa + Se\cap R\cap Sa\\\\29 = \overline{R}+10+3+5\\\\ \overline{R}=29 - 18\\\\\Large\boxed{\boxed{ \overline{R}=11}}\Huge\checkmark\end{array}[/tex]
- [tex]\overline{Sa}[/tex]:
[tex]\large\begin{array}{l} Sa = \overline{Sa}+R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa\\\\26 = \overline{Sa}+3+14+5\\\\ \overline{Sa}=26 - 22\\\\\Large\boxed{\boxed{ \overline{Sa}=4}}\Huge\checkmark\end{array}[/tex]
[tex]\Large\checkmark[/tex] Assim, até o momento, na verdade temos: [tex]\overline{Se}[/tex] = 12 alunos; [tex]\overline{R}[/tex]: 11 alunos e [tex]\overline{Sa}[/tex]: 4 alunos.
[tex]\blacksquare[/tex] Cálculo dos alunos que não gostam de nenhum gênero musical (Nd):
[tex]\large\begin{array}{l} 90 = \overline{Se} + \overline{R} + \overline{Sa} + Se \cap R + R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R \cap Sa + Nd\\\\90 = 12+11+4+10+3+14+5+Nd\\\\Nd = 90 - 59\\\\\Large\boxed{\boxed{Nd = 31}}\Huge\checkmark \end{array}[/tex]
[tex]\Large\checkmark[/tex] Assim, 31 alunos não ouvem nenhum dos gêneros.
Vide Diagrama de Venn em anexo para ilustrar a situação calculada.
[tex]\blacksquare[/tex] Resposta:
[tex]\Large\checkmark[/tex] Portanto, Item A, 31 alunos não gostam de nenhum desses gêneros musicas, e item B, 4 alunos gostam APENAS de Samba.
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