Os atletas A e B se cruzam, aproximadamente, 13 minutos após o início do treinamento. Logo, a letra d) é a correta.
Anexei o gráfico da questão no final desta resolução, para facilitar o entendimento.
Primeiro devemos obter a equação da reta de cada um dos corredores.
Corredor A:
Pelo gráfico vemos que a reta A, em vermelho, passa pelos dois pontos:
- P1 = (0 , 2);
- P2 = (1 , 8).
A equação geral de uma reta pode ser expressa da seguinte maneira:
[tex](y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0[/tex]
, sendo os coeficientes 1 referentes ao ponto P1 e os coeficientes 2 ao ponto P2.
Substituindo os pontos da reta A, teremos:
[tex](y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0\\\\(2 - 8)x + (1 - 0)y + 0*8 - 1*2 = 0\\\\-6x + y - 2 = 0\\\\y = 2 + 6x[/tex]
Nas variáveis do nosso problema:
[tex]x_A(t) = 2 + 6t[/tex]
Corredor B:
Já na reta B, em verde na figura, teremos os seguintes pontos:
- P1 = (0 , 4);
- P2 = (2 , -2).
Substituindo-os na equação gera da reta:
[tex](y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0\\\\(4 - (-2))x + (2 - 0)y + 0*(-2) - 2*4 = 0\\\\6x + 2y - 8 = 0\\\\3x + y - 4 = 0\\\\y = 4 - 3x[/tex]
Retornando para as variáveis do nosso problema:
[tex]x_B(t) = 4 - 3t[/tex]
Portanto, os dois atletas se encontrarão quando seus espaços x(t) forem iguais. Matematicamente:
[tex]x_A(t) = x_B(t)[/tex]
Substituindo as equações que calculamos anteriormente:
[tex]2 + 6t = 4 - 3t\\\\6t + 3t = 4 - 2\\\\9t = 2\\\\t = 2/9 h[/tex]
Aplicando uma regra de três simples teremos o tempo em minutos:
1 h --------- 60 min
2/9 h ----- x (min)
x = 60*2/9 = 13,33 min
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