Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais e integração.
Seja a equação diferencial:
[tex]\dfrac{dy}{dx}=2x[/tex], em que [tex]y(0)=3[/tex].
Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]dy=2x\,dx[/tex]
Integre ambos os lados da equação
[tex]\displaystyle{\int dy=\int2x\,dx}[/tex]
Sabendo que [tex]\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}[/tex], temos:
[tex]\displaystyle{\int y^0\,dy=\int2x\,dx}[/tex]
Lembre-se que a integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/tex] e a integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrito como: [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}[/tex].
Aplique a regra da constante e da potência.
[tex]\displaystyle{\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=2\cdot\int x\,dx}\\\\\\ y+C_1=2\cdot\left(\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C_2\right)[/tex]
Some os valores no expoente e efetue a propriedade distributiva da multiplicação
[tex]y+C_1=2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}+C_2\right)\\\\\\ y+C_1=x^2+2C_2[/tex]
Subtraia [tex]C_1[/tex] em ambos os lados da equação e considere [tex]2C_2-C_1=C[/tex]
[tex]y(x)=x^2+C[/tex]
Então, utilize a condição de contorno dada pelo enunciado:
[tex]y(0)=0^2+C\\\\\\3=0+C\\\\\\ C = 3[/tex]
Dessa forma, a única função que satisfaz esta equação diferencial, dada a condição de contorno é [tex]\bold{y(x)=x^2+3}[/tex].
